Кватернионный анализ
1979sud | Садбери Энтони

Богатство теории функций комплексного переменного делает естественным поиск подобной теории для единственной иной нетривиальной ассоциативной алгебры с делением, называемой кватернионами. Такая теория существует, но она достаточно труднодоступна и еще по-видимому мало известна. Она не развивалась почти столетие после открытия кватернионов Гамильтоном. Гамильтон и его основные последователи и интерпретаторы, Тэйт и Джоли, лишь развили теорию функций кватернионных переменных настолько, насколько это было возможно посредством общих методов теории функций многих действительных переменных (основные идеи этой теории появились в их современной форме первый раз в работе Гамильтона о ватернионах). Среди всех кватернионнозначных функций кватернионных переменных они не выделили специальный класс регулярных функции аналогично регулярным функциям комплексной переменной.
Это произошло из-за того, что распространение никакого из двух фундаментальных определений аналитической функции комплексной переменной на кватернионы не дает интересных следствий; одно слишком узко, другое недостаточно узко. Функции кватернионных переменных, которые имеют кватернионные производные в очевидном смысле, есть лишь константы и линейные функции (причем не все из них); функции, которые могут быть представлены посредством кватернионных степенных рядов, есть именно те, которые могут быть представлены как степенные ряды из четырех действительных переменных.
В 1935 Р. Фютер предложил определение "регулярности" кватернионных функций посредством аналогии с уравнениями Коши-Римана. Он показал, что это определение привело к тесной аналогии с теоремой Коши, интегральной формулой Коши и разложением Лорана. В последующие 12 лет Фютер и его сотрудники развили теорию кватернионного анализа.
Теория, развитая Фютером и его школой, не завершена по нескольким направлениям и многие из их теорем не являются ни столь общими, ни столь строго доказанными, как требуют современные стандарты описания в комплексном анализе. Цель данной работы заключается в представлении замкнутого обзора главного направления кватернионного анализа, который исправляет эти недостатки, заодно добавляя некоторое число новых результатов. Используя внешнее дифференциальное исчисление мы готовы предоставить новые и простые доказательства большинства основных теорем и разъяснить связь между кватернионным анализом и комплексным анализом.

English:		Russian: