Неограниченные операторы на банаховых пространствах над телом кватернионов
2007jao | Людковский С. В.

Тело кватернионов является алгеброй над $\bf R$, но не является алгеброй над $\bf C$, так как любое вложение $\bf C$ в $\bf H$ не является центральным. Поэтому исследование алгебр операторов над $\bf H$ нельзя свести к алгебрам операторов над $\bf C$. С другой стороны, развитая ниже теория алгебр операторов над $\bf H$ имеет много специфических особенностей по сравнению с общей теорией алгебр операторов над $\bf R$ благодаря градуированной структуре $\bf H$. Результаты данной работы можно также использовать для развития некоммутативной геометрии, суперанализа, квантовой механики над $\bf H$ и теории представлений не локально компактных групп типа групп диффеоморфизмов и петель кватернионных многообразий (см. \cite{connes,oystaey,emch,lulgcm,lupm}). Большая часть предыдущих работ по суперанализу была посвящена суперкоммутативным супералгебрам типа алгебры Грассмана, тогда как для некоммутативных супералгебр он оставался почти неразработанным. Тело кватернионов служит важнейшим примером супералгебры, которая не суперкоммутативна. В данной работе использованы результаты предыдущих работ автора по этой теме, в частности некоммутативный интеграл над $\bf H$ \cite{luoyst,lufsqv} служащий аналогом интеграла типа Коши известного для $\bf C$. Примерами кватернионных неограниченных операторов служат дифференциальные операторы в том числе в частных производных. Они возникают естественным образом, например, уравнение Клейна-Гордона-Фока можно записать в виде $(\partial ^2/ \partial z^2+\partial ^2/ \partial {\tilde z}^2)f=0$ на пространстве кватернионно локально $(z,{\tilde z})$-аналитических функций $f$, где $z$ -- кватернионная переменная, $\tilde z$ -- сопряженная переменная, $z{\tilde z}=|z|^2$. Оператор Дирака для спиновых систем над $\bf H^2$ можно записать в виде ${ {0\quad \partial / \partial z} \choose {{- \partial / \partial {\tilde z}} \quad 0}} $, что используется в теории спиновых многообразий \cite{lawmich}, но любое спиновое многообразие можно вложить в кватернионное \cite{lufsqv}. В данной статье приводятся основные особенности кватернионного случая, так как в одной статье невозможно дать такую же обширную теорию над $\bf H$, как хорошо разработанную теорию операторов над $\bf C$ \cite{danschw,kadring}.

English:		Russian: