Идемпотенты и нильпотенты в клиффордовой алгебре евклидова 3-пространства и их связь с физикой
2009jbr | О.А. Морнев  // mornev@mail.ru

Исследована структура идемпотентов и нильпотентов индекса 2 пространственной алгебры -- клиффордовой алгебры $Cl_3$, порождённой линейным трёхмерным евклидовым пространством $E_{3} $ над полем действительных чисел. Найден общий вид указанных элементов и выявлены их алгебраические свойства и геометрическая интерпретация. Обнаружена эквивалентность действия групп фазовых преобразований $(U_{1} )$ и вращений и $(SO_{3} )$ на нильпотенты индекса 2: фазовые преобразования нильпотента, реализуемые его умножением на комплексные экспоненты, приводят к пространственным поворотам нильпотента в $E_{3} $ (обратное также верно). Показано, что нильпотенты индекса 2 -- единственные элементы алгебры $Cl_3$, для которых указанная эквивалентность действия групп $U_{1} $ и $SO_{3} $ имеет место; таким образом, это свойство нильпотентов является характеристическим. Полученные результаты применены к анализу геометрии вакуумных решений уравнений Максвелла без источников, описывающих плоские гармонические электромагнитные волны -- фотоны с двумя типами спиральности. На основе предпринятого анализа выдвинута неформальная гипотеза о том, что реальное физическое пространство имеет не менее шести измерений: в минимальном случае его базис состоит из шести линейно независимых элементов -- трёх векторов и трёх бивекторов, порождённых этими векторами.

English:		Russian: