"Гиперкомплексные числа в геометрии и физике" 1 (7), том 4, 2007
j007

Постатейное содержание номера внутри темы. Журнал в одном файле ниже.

Геометрия невырожденных поличисел
2007jaz | Гарасько Г. И., Павлов Д. Г.

Показано, что пространства невырожденных поличисел являются метрическими финслеровыми пространствами. Получены выражения для нормы и метрической финслеровой функции. Приводится удобный алгоритм для вычисления скалярных полипроизведений в таких пространствах. Построен базис, в котором имеет место экспоненциальное представление поличисла, и описано все множество таких базисов. Множество унимодулярных поличисел изоморфно непрерывной группе Ли, группе симметрии поличислового пространства.

English:		Russian:

Частное стационарное решение уравнения поля для пространства, конформно связанного с пространством Минковского
2007jay | Г. И. Гарасько  // ГУП ВЭИ, Москва, Россия gri9z@mail.ru

Пространство, конформно связанное с пространством Минковского, обладает единственным скалярным полем, для которого записывается уравнение поля и находится частное специальное решение: стационарное пространственно сферически симметричное с "силой" притяжения к центру. Решение определено только вне области радиуса $r_0$. На границе этой области материальные частицы, двигающиеся из бесконечности с нулевой начальной скоростью и нулевым моментом количества движения, достигают $\frac{1}{\sqrt{3}}$ скорости света, то есть эту область можно назвать "аналогом черной дыры". Для полученного самосогласованного поля сформулирована квантово-механическая задача на собственные значения. При некоторых предположениях несколько собственных значений найдены численно квазиклассическим методом.

English:		Russian:

Пространство, конформно связанное с пространством Бервальда-Моора
2007jax | Гарасько Г. И.  // ГУП ВЭИ, Россия, Москва, gri9z@mail.ru

Пространство, конформно связанное с пространством Бервальда-Моора, обладает единственным скалярным полем, для которого записывается двумерные уравнение поля и находится частные специальные решения: 1) с индикатрисой, экспоненциально расширяющейся во времени, 2) со стационарным полем коэффициента расширения-сжатия и "силой" притяжения к центру. Для второго решения сформулирована квантово-механическая задача на собственные значения. В качестве второй, дополнительной к временной, переменной используется негладкая переменная -- аналог радиуса сферической системы координат в трехмерном евклидовом пространстве.

English:		Russian:

Об аналоге решения Фридмана в финслеровом пространстве-времени с анизотропной метрикой Бервальда-Моора
2007jaw | Гарасько Г. И., Павлов Д. Г.

Гиперболические (двойные) числа $H_2$ во многом напоминают, а в чем-то двойственны обычным комплексным числам $C$, однако в отличие от последних, естественным обобщением которых до четырехкомпонентной алгебры исторически принято считать некоммутативную алгебру кватернионов $Q$, $H_2$ имеют естественное расширение уже на коммутативную алгебру $H_4$. Пространство, соответствующее числам $H_4$, -- четырехмерно и ему может быть сопоставлено пространство событий, только вместо изотропной по пространственным координатам геометрии Минковского оно обладает анизотропной финслеровой геометрией Бервальда-Моора. Оказывается, что для пространств $H_2$ и $H_4$ справедливы построения, аналогичные методу комплексного потенциала, когда каждой аналитической функции $F(z)$ ставится в соответствие та или иная физическая интерпретация. На конкретном примере элементарной функции натурального логарифма показывается, что для любых аналитических функций $F(h_n)$ также удается ввести естественную физическую интерпретацию в виде конформно выделенных нелинейных полей в пространстве-времени с финслеровой геометрией. Для четырех измерений поле, которое сопоставляется логарифмической функции $\ln(h_4)$, можно считать обобщением фридмановской модели Вселенной, однако в отличие от той, получающийся в данном случае аналог закона расширения Хаббла оказывается существенно анизотропным и имеет тесную связь с симметриями ромбододекаэдра.

English:		Russian:

К релятивистской теории в гиперкомплексных системах
2007jav | Зарипов Р. Г.  // Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань, Россия, zaripov@mail.knc.ru

Рассматриваются новые свойства гиперкомплексных систем и их связь с матрицей Адамара. Приводится характеристическое уравнение для гиперкомплексных чисел. Даются преобразования координат и времени в релятивистских теориях для различных гиперкомплексных систем. В системе квадрачисел вводится новая операция векторного произведения, а также даются преобразования частичного отражения. Изучено матричное представление кватернионов и квадрачисел для элементов группы трехмерных скоростей и определена обратная скорость в двух новых формах.

English:		Russian:

О релятивистских уравнениях в пространстве-времени Бервальда-Моора
2007jau | Зарипов Р. Г.  // Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань,Россия, zaripov@mail.knc.ru

Приводятся новые свойства системы квадрачисел с коммутативной операцией векторного произведения трехмерных векторов. Даются релятивистские уравнения четвертого порядка для скалярной волновой функции в случае свободной частицы и находящейся в электромагнитном поле. Изучается представление алгебры квадрачисел недиагональными матрицами порядка четыре. Получены четыре линейных релятивистских уравнения первого порядка для четырех четырех-компонентных волновых функций, описывающие поведение свободных частиц в пространстве-времени Бервальда-Моора в случае чистого ансамбля квантовых систем. Собственные значения энергии частицы не вырождаются для данного значения импульса.

English:		Russian:

О построении аналога множества Мальдеброта на плоскости двойных чисел
2007jat | Павлов Д. Г., Просандеева М. С., Панчелюга В. А.

В работе приведен пример построения аналога множества Мандельброта на плоскости двойных чисел. Продемонстрирована нетривиальная структура полученного множества, что дает надежду на то, что с ним, как и с обычным множеством Мандельброта на комплексной плоскости C, может быть связана своя, физически содержательная нелинейная динамика. Указаны аналогии между полученным множеством и множеством Мандельброта на C.

English:		Russian:

Принцип взаимности и финслеровское обобщение физических принципов
2007jas | Севальников А. Ю.  // Институт философии Российской Академии Наук

Необходимо исходить из более общих пространств, где можно было ввести нетривиальную метрику для касательных пространств. В качестве таких пространств могли бы использоваться пространства Финслера, Картана или Кавагути, которые уже неоднократно рассматривались при различных обобщениях теории относительности.
Серьёзному рассмотрению такого рода пространств мешает несколько обстоятельств. Это, прежде всего, отсутствие в настоящее время экспериментальных данных, говорящих в пользу таких геометрий [2] и, что более важно, неясность принципиальных физических оснований для их рассмотрения.
Отметим, что, вообще говоря, физический принцип, который может способствовать введению таких обобщений, давно известен. Речь идет о так называемом принципе взаимности (reciprocity), сформулированном в частном случае впервые Максом Борном еще в 1938 году [3]. До сих пор на него не обращалось должного внимания, т. к. при классическом подходе к существующим физическим понятиям не совсем понятно, что за ним скрывается.

English:		Russian:

Равенства, соответствующие псевдонормам матриц n-го порядка и неравенствам Шварца-Коши-Буняковского
2007jar | Соловей Л. Г.

Показано, что матрице $n$-го порядка можно сопоставить положительное число, играющее роль ее псевдонормы $[1]$, и получена соответствующая формула. Для псевдонорм $|A|$ и $|B|$ матриц $A$ и $B$, как и должно быть, выполняется неравенство $|A||B|\geq|AB|$. Показано, что каждому такому неравенству соответствует определенное равенство. Показано также, что подобные равенства соответствуют неравенствам Шварца-Коши-Буняковского для скалярных произведений, причем каждому такому неравенству соответствуют некоторые гиперкомплексные числа. Для каждого из указанных равенств справедливо утверждение: "произведение суммы квадратов на сумму квадратов есть снова сумма квадратов" -- обобщенная проблема Гурвица.

English:		Russian:

Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени
2007jaq | В. Ф. Чуб  // Ракетно-космическая корпорация ``Энергия'' им. С.П. Королева, г. Королев, Россия, v.chub@mail.ru

В обзоре проведен сравнительный анализ релятивистских и нерелятивистских уравнений инерциальной навигации в свободном от гравитационного поля пространстве. Для записи уравнений используются кватернионы: с вещественными, дуальными, комплексными и комплексно-дуальными коэффициентами. В рамках теории пространства-времени, основанной на кватернионах с комплексно-дуальными коэффициентами, показана незамкнутость преобразований, которые в рамках специальной теории относительности образуют группу Пуанкаре, а в рамках механики Ньютона -- группу Галилея. Приведено уравнение инерциальной навигации, соответствующее кватернионной теории пространства-времени, и отмечена его абсурдность.

English:		Russian:

A mathematical description of the fermionic state
2007jap | Rowlands P.  // Department of Physics, University of Liverpool, Oliver Lodge Laboratory, Liverpool, UK, p.rowlands@liverpool.ac.uk

The fermionic state is the foundation for the whole of physics. Physics is entirely concerned with fermions and their interactions, and nothing else. It is possible to derive a mathematical expression for the fermionic state, which is an operator only, not an equation, or wavefunction. This operator appears to contain within it all the information needed to construct fermion interactions and particle states. Extensions to particle representations using Finsler geometry could find this formalism a particularly accessible link.

English:		Russian:

Неограниченные операторы на банаховых пространствах над телом кватернионов
2007jao | Людковский С. В.

Тело кватернионов является алгеброй над $\bf R$, но не является алгеброй над $\bf C$, так как любое вложение $\bf C$ в $\bf H$ не является центральным. Поэтому исследование алгебр операторов над $\bf H$ нельзя свести к алгебрам операторов над $\bf C$. С другой стороны, развитая ниже теория алгебр операторов над $\bf H$ имеет много специфических особенностей по сравнению с общей теорией алгебр операторов над $\bf R$ благодаря градуированной структуре $\bf H$. Результаты данной работы можно также использовать для развития некоммутативной геометрии, суперанализа, квантовой механики над $\bf H$ и теории представлений не локально компактных групп типа групп диффеоморфизмов и петель кватернионных многообразий (см. \cite{connes,oystaey,emch,lulgcm,lupm}). Большая часть предыдущих работ по суперанализу была посвящена суперкоммутативным супералгебрам типа алгебры Грассмана, тогда как для некоммутативных супералгебр он оставался почти неразработанным. Тело кватернионов служит важнейшим примером супералгебры, которая не суперкоммутативна. В данной работе использованы результаты предыдущих работ автора по этой теме, в частности некоммутативный интеграл над $\bf H$ \cite{luoyst,lufsqv} служащий аналогом интеграла типа Коши известного для $\bf C$. Примерами кватернионных неограниченных операторов служат дифференциальные операторы в том числе в частных производных. Они возникают естественным образом, например, уравнение Клейна-Гордона-Фока можно записать в виде $(\partial ^2/ \partial z^2+\partial ^2/ \partial {\tilde z}^2)f=0$ на пространстве кватернионно локально $(z,{\tilde z})$-аналитических функций $f$, где $z$ -- кватернионная переменная, $\tilde z$ -- сопряженная переменная, $z{\tilde z}=|z|^2$. Оператор Дирака для спиновых систем над $\bf H^2$ можно записать в виде ${ {0\quad \partial / \partial z} \choose {{- \partial / \partial {\tilde z}} \quad 0}} $, что используется в теории спиновых многообразий \cite{lawmich}, но любое спиновое многообразие можно вложить в кватернионное \cite{lufsqv}. В данной статье приводятся основные особенности кватернионного случая, так как в одной статье невозможно дать такую же обширную теорию над $\bf H$, как хорошо разработанную теорию операторов над $\bf C$ \cite{danschw,kadring}.

English:		Russian:

Алгебра $y$-чисел: возможности в области построения функций и множеств
2007jan | Ёлкин С. В., Игашов С. Ю.  // Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Московский инженерно-физический институт(государственный университет)

В работе представлено исследование неассоциативной алгебры $y$-чисел. Рассмотрены вопросы делимости, извлечения корней построения функций и множеств.

English:		Russian:

English:		Russian: