"Гиперкомплексные числа в геометрии и физике" 1 (13), том 7, 2010
j013

Содержание номера

Гиперболический аналог электромагнитного поля
2010jaw | Павлов Дмитрий Геннадьевич  // НИИ Гиперкомлексных систем в геометрии и физике, Фрязино, Россия, geom2004@mail.ru

На основании аналогии между аналитическими функциями от комплексных чисел и двумерными электро- и магнитостатическими полями выдвигается предположение о наличии в реальности подобного же соответствия между h-аналитическими функциями двойной переменной и некой иной парой двумерных физических полей, одно из которых является гиперболическим источниковым, а второе гиперболически вихревым полем. В отличие от электро- и магнитостатических полей данная пара реализуется не в пространстве, а в пространстве-времени, в связи с чем источниками первого поля являются события, а силовые линии второй вихревой составляющей представляют собой гиперболы. Существенной особенностью данной гипотетической пары полей является то, что она возможна лишь в двумерном псевдоевклидовом пространстве и принципиально несовместима с идеей четырехмерного пространства-времени Минковского. Отчасти, именно поэтому даже в теории такие поля не рассматривались физиками как потенциально возможные. Натурному же их обнаружению в определенной степени препятствуют укоренившиеся традиции экспериментаторов иметь дело с пространственными граничными условиями, тогда как в данном случае следовало бы работать с пространственно-временными. Хотя с пространством Минковского данная пара полей несовместима, она все же допускает свою реализацию в четырехмерии, в частности, обладающем финслеровой метрической функцией Бервальда- Моора, в связи с чем ее обнаружение в реальности автоматически явилось бы веским основанием к необходимости смены представлений о геометрии пространства-времени с квадратичной метрики на финслерову, связанную с формой четвертого порядка.

English:		Russian:

Двойные числа
2010jbw | Павлов Дмитрий Геннадьевич, Гарасько Григорий Иванович  // НИИ Гиперкомлексных систем в геометрии и физике, Фрязино, Россия, geom2004@mail.ru, gri9z@mail.ru

Предпринята попытка доказать, что между комплексными и двойными (гиперболически комплексными) числами имеется существенно больше общего, чем принято считать. При этом, с одной стороны, раскрываются новые нетривиальные качества аналитических функций двойной переменной, например, их связь с гиперболически потенциальными и соленоидальными векторными полями на псевдоевклидовой плоскости, а с другой, показано каким образом многие структуры на комплексной плоскости могут взаимнооднозначно представляться их гиперболическими аналогами, что существенно дезавуирует "магические" свойства комплексных чисел, в частности, приводит к пониманию, что аналитические функции от них сводятся к двум скалярным функциям не от двух, а от одной вещественной переменной каждая.

English:		Russian:

Аналог формулы Коши в пространствах невырожденных поличисел
2010jcw | Павлов Дмитрий Геннадьевич, Гарасько Григорий Иванович  // НИИ Гиперкомлексных систем в геометрии и физике, Фрязино, Россия, geom2004@mail.ru, gri9z@mail.ru

Получен аналог формулы Коши для невырожденных коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных чисел (поличисел), включающих в качестве подалгебры алгебру комплексных чисел или прямую сумму m комплексных алгебр. При этом выявляются причины трудностей получения формулы Коши в поличислах Hn, являющихся прямыми суммами одних только действительных алгебр.

English:		Russian:

Тождественно разрешимые финслеровы геометрии
2010jdw | Гарасько Григорий Иванович  // НИИ Гиперкомлексных систем в геометрии и физике, Фрязино, Россия, gri9z@mail.ru

Предложен алгоритм поиска тождественно разрешимых финслеровых геометрий, который позволяет находить и некоторые разрешимые финслеровы геометрии, не являющиеся тождественно разрешимыми. Такой алгоритм тесно связан с отображением пространства, на единицу меньшей размерности, чем размерность самого финслерова пространства, на себя. Причем это отображение должно совпадать с себе обратным и обладать еще рядом свойств. Для пространств произвольной размерности тождественному отображению соответствует евклидово пространство, отображению с изменением знака у всех координат - псевдоевклидово пространство и отображению с инверсией всех координат соответствует пространство с метрикой Бервальда - Моора.

English:		Russian:

Реальная часть невырожденного поличисла и специальная линейная форма
2010jew | Гарасько Григорий Иванович   // НИИ Гиперкомлексных систем в геометрии и физике, Фрязино, Россия, gri9z@mail.ru

Из множества различных инвариантных полилинейных форм, которые могут быть построены в пространствах невырожденных поличисел, выделена линейная инвариантная форма, тесно связанная с понятиями реальной части невырожденных поличисел и временнґой координатой

English:		Russian:

h-голоморфные функции двойной переменной и их приложения
2010jfw | Павлов Дмитрий Геннадьевич, Кокарев Сергей Сергеевич  // НИИ Гиперкомлексных систем в геометрии и физике, Фрязино, Россия, geom2004@mail.ru, logos-center@mail.ru

Рассматриваются комплексно-дифференцируемые функции двойной переменной и их основные свойства, аналогичные свойствам голоморфных функций комплексной переменной: теорема Коши и формула Коши, гиперболическая гармоничность, свойства общих h-конформных отображений и свойства таких отображений, осуществляемых гиперболическими аналогами элементарных функций. Обсуждается вопрос о приложениях h-конформных отображений для решения двумеризованных гиперболических задач математической физики.

English:		Russian:

Гиперболическая теория поля на плоскости двойной переменной
2010jgw | Павлов Дмитрий Геннадьевич, Кокарев Сергей Сергеевич  // Российский научно-образовательный центр "Логос"; НИИ Гиперкомлексных систем в геометрии и физике, geom2004@mail.ru, logos-center@mail.ru

По аналогии с теорией гармонических полей на комплексной плоскости строится теория волновых полей на плоскости двойной переменной. Построены гиперболические аналоги точечных вихрей, источников, вихреисточников и их высших мультипольных обобщений. Обсуждаются физические аспекты теории и возможность ее обобщения на пространства поличисел высших измерений.

English:		Russian:

Скрученные когомологии групп оберток над кватернионами и октонионами
2010jkw | Людковский Сергей Викторович  // Московский государственный технический университет МИРЭА, Москва, Россия, sludkowski@mail.ru

Данная статья посвящена исследованию групп оберток связных расслоений над полем действительных чисел R, полем комплексных чисел C, телом кватернионов H и алгеброй октонионов O. Исследуются когомологии групп оберток и их структура. Строятся и изучаются пучки групп оберток. Более того, изучаются также скрученные когомологии и пучки над над телом кватернионов и алгеброй октонионов.

English:		Russian:

Дифференциальные формы: от Клиффорда через Картана к Кэлеру
2010jlw | Варгас Джозе Г.  // Университет Южной Каролины, Колумбия, Южная Каролина, США, josegvargas@earthlink.net

Продемонстрированы пределы векторного, тензорного и спинорного дираковского исчислений для мотивации введения кэлерова исчисления интеграндов, заменяющего все три вышеперечисленные. При этом кэлерово исчисление вводится в три этапа. Во-первых, мы формулируем основы алгебры Клиффорда, лежащей в основе кэлерова исчисления, и пригодной как для евклидовых, так и для псевдоевклидовых векторных пространств любого числа измерений. Показано, что обычная векторная алгебра представляет собой "поврежденную" алгебру Клиффорда, причем "повреждение" рассматриваемого типа возможно лишь в 3-мерном векторном пространстве. Клиффордово произведение строится как сумма внешнего и внутреннего произведений, если, по крайней мере, один из сомножителей является вектором. Грубо говоря, эти произведения обобщают обычные векторное и скалярное произведения и включают в себя внешнюю алгебру. В качестве промежуточного шага на пути к исчислению Кэлера мы кратко формулируем основы исчисления внешних скалярно-значных дифференциальных форм Картана, рассматриваемых здесь как обычные скалярно-значные подынтегральные выражения в кратных интегралах. Мы также делаем небольшой экскурс в исчисление внешних векторно-значных дифференциальных форм, реализующих метод подвижного репера в дифференциальной геометрии. Далее мы представляем основы исчисления дифференциальных форм Кэлера. Оно относится к внешнему исчислению так же, как алгебра Клиффорда относится к внешней алгебре. Ввиду ограничений по объему и сложности, мы останавливаемся лишь на скалярно- значных дифференциальных формах, что вполне достаточно для приложений в области релятивистской квантовой механики с электромагнитным взаимодействием. Использование исчисления Кэлера не приводит к решениям с отрицательными энергиями.

English:		Russian:

К вопросу о множествах Жулиа и Мандельброта на плоскости двойных чисел
2010jmw | Типунин И., Топоренский А.  // Физический институт им. Лебедева, Москва, Россия, Государственный астрономический институт им. Штернберга, Москва, Россия, atopor@rambler.ru

Мы находим численно множество Мандельброта и наполненные множества Жулиа квадратичного отображения на плоскости двойных чисел. Обсуждаются отличие нашего определения данных множеств от ранее данного в работе Арчи и, как следствие, отличия в результатах. Найдено также условие, при котором наши результаты и результаты Арчи совпадают. Показано, что наше определение дает возможность получать нетривиальные графические структуры на плоскости двойных чисел, порожденные квадратичным отображением, тогда как определение Арчи такой возможности лишено.

English:		Russian:

Поправка к одному утверждению статьи «Идемпотенты и нильпотенты в клиффордовой алгебре евклидова 3-пространства и их связь с физикой»
2010jnw | Морнев О.А.  // Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН, Пущино, Россия, mornev@mail.ru

Представлена поправка к статье «Идемпотенты и нильпотенты в клиффордовой алгебре евклидова 3-пространства и их связь с физикой» (Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 2(12), том 6, 2009, с. 92-137), которая исправляет одно высказанное в ней утверждение, касающееся свойств односторонних идеалов, генерируемых в клиффордовой алгебре трёхмерного евклидова пространства составными идемпотентами этой алгебры.

English:		Russian:

English:		Russian: